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课题：04高中数学专家点评（2023年河南省“双新课堂”）
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学科：高中数学教学视频
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专题：2023年河南省普通高中“双新”实施示范校新教学研讨活动
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课题：04高中数学专家点评（2023年河南省“双新课堂”）
说话人 1
首先感谢我们三位老师，这个精心准备的三节可以说四方课，也可以叫做研讨课，嗯，给我的时间是 40 分钟，所以下面我就按照讲课顺序逐一和大家说话来进行研讨啊。第一位老师，吴老师的课啊。嗯，这个课我想因为时间关系，我就重点讲一下节啊。第一点。这个课大的理念方向是正确的，学生自主合作探究，始终以学生发展为中心。一标私教，又不拘泥于教材，体现了人文性、开放性、实践性，但也有问题，这个我随后再讲。第二，教学过程方面，第一学生能够主动思考，积极探索，其中向小组合作探讨，比如画椭圆、找椭圆的范围等啊。第二个教师的语言可以说是比较精炼的、纯净的，善于引导、启发、领悟，其中合创设情境、合作探究、总结、归纳、形成结论做的都比较好。第三，从技术层面来讲，有效直观，助力教学。采用 GDB 是吧？这个学生去做图，直接能够投影到这个电子板上，能够及时反馈学生学习的结果啊。第四，具体过程来讲，第一，引入力者具有代表性。比如他举了 3 个比出了 3 个椭圆的标准方程， 9 分之 x 方加 y 方等于，九分之 x 方加四分之 y 方等于，三十六分之 x 方加四分之 y 方等于。这个例子为什么说比较全面呢？一个是 b 的变化由一变成2，是吧？为 4 字 b 的平方，是吧？ b 是2。然后还有一个就是同倍数的扩大，都扩大 9 倍，平方扩大 9 倍，这是第一、第二解析思想实时体现塑形结合得到充分的应用，比如范围等。

说话人 1
第三，一系列探讨遵循了学生的认知规律，尤其是利用这个 GGB 这个技术做了全面的探讨。 a 分之b， a 分之c， b 分之c。又从典型的三角亭中去理解，体现了处理问题比较灵活，多角度思考问题，再通过亲手实践学习自用感知数学，最后通过控制变量来思考研究，培养了学生科学研究的方法。第五，关于作业设计。 c 分之 b 对扁平程度的影响以及文献阅读与数学写作都很有创意，体现数学美、数学有用，数学是有价值的结尾令学生深思为卫，继续深入研究探讨啊。第六关于例 2 是老师做的一个补充例题啊。例一，我们根据椭圆标准方程可以探讨出它相应的一些几何性质。第二，根据几何性质探讨椭圆的标准方长比较完整。这两个例题是老师精心准备的，具有典型性。你看两个立体学生在做的时候就会出现一些小的错误，更体现了课堂的生成，老师的点拨非常到位，是吧？这个选题我认为是比较好的。嗯，第七，从特殊问题引导到研究到一般问题，这是这节课老师的一个优秀做法。关于这个做的比较好的地方，我讲这么7点，下边有几个问题作为商榷啊。第一，这个离心率刻画椭圆的扁平程度 a 分子 b 也能刻画，哪一个更直观啊？仅仅是因为 VC 是原始数据， b 不那么原始，我们可以作为探讨，你还有哪些关系量关系，或者是量也能刻画椭圆的扁平程度？第二个，为什么叫离心率，不叫偏斜率都有，为什么？第三，以学定焦，以学论焦，先学后教，学生是主体，教师是主导。比如询问研究范围怎么研究？比如a、b、 c 分别叫什么，可以让学生经过认识之后自我定义出来一切知识都要让学生提出来啊。

说话人 1
第四点确定范围，比如方程的范围的确定，除了我们用这个一项代数的方法之外，这个范围还有其他的探讨方法吗？只有这么一种方法可以找出它的范围吗？其实它的标准方程是怎么来的呢？标准方程是从定义来的，是我们下了一个定义平面内到两个定点，距离之和为定值，这个定值要大于两个定点之间的距离，这个点的轨迹叫做否源。因此我们只要标准方程是定义来的，那么定义就一定可以探讨它的方。

说话人 1
第五，学生回答整节课比较顺畅，这是我作为听课老师感觉，感觉就像我们有的老师说这是不是事前有演练，也可能没有演练，是吧？这个顺畅，那是说明我们的学生，是吧？我们的学生或者有预习，用预习，我们尽量的在课堂上能让一些问题出现质疑的声音错误，是吧？的发生要让它出现，因为缺少了生成，就很难出现精彩，很难出现亮点，是吧？这个比如这个造成，比如对称性的回答，对称性的回答，坐标轴，焦点的坐标，这些回答都非常顺畅，因为可能问题比较简单，这个造成扁平程度，扁圆程度，那个提问学生的吻合度是比较高的，大家从课堂上可以看到，是吧？学生的回答与老师的板书设计吻合度完全一样，是吧？ a C，然后再到AB，再到 a C 再到BC，是吧？都能够刻画这个程度，这容易造成可能。

说话人 1
我们的理解是不是事先准备好了？学生的回答怎么跟老师设计的一模一样？是不是这不是老师的错啊？第六，为什么非要用 a 分之 c 刻画演员程度？应该是教材上我们老师这个提问，大家仔细思考一下，这个提问会不会有点问题，就是为什么非要 a 分之 c 刻画椭圆的比原程度？大家想想教材上非用 a 分之 c 刻画了吗？是吧？教材上只是他用了 a 分之 c 刻画，并不是说我们不能用其他的量或者关系来刻画，所以我们这里边有一个思想的问题，是吧？课本上这样刻画我可以不拘泥于教材，我们可以从多个角度去刻画去理解，是吧？嗯，不能认为是非要的怎么想的好，有不对的地方我说了，有不当的地方我们下去再沟通，接下来说一下这个杨老师，关于基本不能是。嗯，第一点，从造等弦图推出 a 方加 b 方大于等于 2 a b a b 属于r。得出几个基本的不等式，从几何和代数两个角度。

说话人 1
Lại tớ xuống ghế.

说话人 1
b 两个字母之间的一些关系，乘积关系平方关系和的关系啊。第二点，不等式的证明，用分析法、综合法加以证明。第三，几何解释，从中发现问题，这个核定既有最大值。第四是公司变形，这是严老师的教学过程，这个公式的变形这些大家可以考虑考虑能不能做一个总结，其实在课堂上严老师也做了一个总结，我们怎么来总结这么多呢？就在这个板书这个左边这块黑板上写了好多好多这样的事，我们怎么去总结它呢？就是这些关系，无非就是a、 b 的和的关系，积的关系，是吧？和积平方和，还有倒数和，是吧？倒数和其实就是我们说的调和平均数、几何平均数、算数平均数、金方平均数就是它们之间的关系，其实这些都可以归到这一个不等式关系之中啊。

说话人 1
在结课这个同代数和几何其实是两个角度来研究不等式的证明，并将之应用与证明最值问题。这是理论数学与应用数学结合的良好典幻，体现了新课标所要求的培养创新精神及数学应用的意思。这一节课是不等与相等关系的，应用是系统学习不等式的基础，是证明其他不等式的基础起着重要的桥梁作用。这一节课是一节概念课，这个云道学生感知概念的生成过程，让学生经历知识的发生、探索和证明过程，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，以发展学生的核心素养为宗旨，遵循学生的认知规律，在探索过程中渗透核心素养，以学生终身发展为目的，落实教学中旗帜增效的这样的一个目的啊。

说话人 1
这里边我再提出几点商趣的地方啊。根号 a b 小于等于二分之 a 加 b 开始的时候写到了黑板上，我觉得它的出现有点过早。第二个，能否利用不等式的性质推导出基本不等式？好像学生没有明白，这个时候就是我们的色问，就是怎么样能够更明细一些，让学生明白我们的目标到底是什么，要求到底是什么？第三证明基本不等式时，不用考虑 a 等 b 两位老师在证明用分析法证明的时候，最后都写出来了成立不等式等号成立的条件子合一等于b，我们在证明 2 分之 a 加 b 大于等于根号 AB 这个式子写的时候没有必要，后边在证明的时候没有必要说什么时候取导号，是吧？我们在证明这个不等式，我举个例子，这个大于等于是什么意思？大于等于是大于或等于，比如 3 大于等于1，对不对呀？对吗？是吧？ 1 大于等于 1 也是对的，它是个或命题，所以这是一点啊。

说话人 1
第四，这个几何解释的时候，学生在回答周长与面积的时候有 1/ 2 压力，想到周长有根号AB，想到面积，这个时候其实是正常的。为什么？因为根号 AB 的单位也是常驻单位，因为它有一个开方。所以说这里边我们不要轻易否定学生，这里边学生第二个学生、第三个学生，第三个学生又谈到摄影，是吧？其实他谈到摄影，这个学生谈得非常好，这就是我们课堂的生成。当他说到摄影的时候，我们老师要采取追问的方式，继续和这个同学探讨下去，其实这个几何解释就自然的出现了，可惜的是没有继续的进行探讨。

说话人 1
第五，基本不等式的应用。这个例题 x y 等于p，问 x 加 y 的最小值，我建议这个题目改为填空题，改为人物。先不要说等于什么，然后去探讨，得出结论再给出证比较好，这是我个人的看法。第六个问题，老师在进行辨识训练的时候，这个严老师这个辨识训练这几个题目都非常好了，从各个方面，这里边我要提一个问题，对于 x 加上 x 分之一， x 大于0，求它的最小值这个题究竟怎么辨识？如果我们没有方法的话，我们的辨识就会是盲目的，这就是我有时候说我说到底老师的辨识是有益的还是无益的？你说辨识我是有益的，我要我接下来问你，为什么电视是这么几个题目？这几个题目能不能覆盖？能不能包含我们从数学的观点来讲、思想上来讲，分类与整合的思想能不能分类分得够完整？能不能从哪些方面来对这个题目应该辨识呢？第一条件像个 x 大于 0 可以改变。

说话人 1
我现在问大家，我问我因为这节课听了好多次，没有见哪个老师这样辨识过。现在我就说了，辨识是两个角度，一个是条件的辨识，一个是式子的辨识，一定是它从这个两个角度来出发的，这就是数学思想，就是一个人的数学素养。 x 大于0，我现在问大于 1/ 2 可以吗？我们常常说的总结出来的一正二定三相等，我问正一定大于 0 吗？我已经给大家变出来了， x 大于 1/ 2 可以吗？因为它取等的条件是 x 等几，嗯，是 x 等一啊。我给出条件 x 大于 1/ 2。这个题是同样可以做的，我们一定不要把一证看作是大于0，而我们常常总结的这个口诀大家都认为是 x 大于0，其实不是这样的，他只要能取到都是可以的，是吧？这就是这个条件的变化，怎么来变？像咱们这个胡，这个姚老师跟那个温老师，是吧？吴老师最后的作业题留了一个 x 小于0，对不对？嗯，这就是条件的变化。

说话人 1
条件变化怎么来改变条件？咱们条件就像严老师再举 x 大于2，大家看到这个题目了， x 大于 2X 加上 x 减 1/ 1。讲到这个题的时候，严老师说这个题不符合咱们基本不等式的条件，对吧？所以就没再讲下去。现在我们把这个题讲下去，我们所提出课堂上提出的问题都是要处理的。

说话人 1
x 大于2X，加上 x 减 1/ 1，那不就是 x 减一再加上 x 减 1/ 1 再加一吗？它取等的条件是什么？ x 减一等于 x 减 1/ 1，那就是 x 等于2，对不对？那个负了咱不要，对吧？那个0，对吧？另外一个是 0 吧？是 0 吗？那个 0 不要了，但是等 2 的时候取等号，可是我们给的条件是什么？是 x 大于2，因此大于等于3，这个结论是正确的，但是等于号取不到，对不对？也就是说 x 加 x 减 1/ 1，在 x 大于 2 的条件下没有最小值，是吧？这恰好我们这个问题恰好是我们这一个非常好的一个题目，它正好接近了基本不等式的本质核心取等的条件，是吧？也就是我们对大于等于号的理解，大于等于这样的离职，所以这个题如果这样处理了，学生就真的弄不明白，大 02 可以改大于 1.5 行吗？这个题你说大于 0 可以对不对？改成大于 1.5 可以大于1.5，那么它的最小值照样是3，当然是可以的，所以这一点就是要特别注意的，这是我们经常在讲这个基本不能听到忽略的，由我们只是口诀上一证二定、三升等给学生造成一种什么定式，一种错误的定式，认为这个数必须是正数，所以不一定。我们后来学习大家都知道它是个对勾函数的一种情况，特殊情况对不对？因为它的基式定制是一种特殊的对勾一种情况，所以说这个要跟后边的联系来看问题。

说话人 1
第七点就是关于公式的变形需要总结，这个刚才说过了啊。名字也可以给学生，像调和平均数这些名字可以给学生。为啥要起名字？便于记忆，如果大家这么多人，如果都没有名字，你看咱怎么来说，是吧？嗯，第八点，关于如何总结两位老师，三位老师都有总结。怎么来总结？总结什么啊？总结什么？我想应该总结我们学到的知识、掌握的技巧和方法，培养的能力、涵养的思想啊。我们说能力，什么是能力？它其实就是我们现在说的核心素养啊。我们的核心因素养就是我们以前讲的数学能力啊。这是关于这个杨老师这课文，老师这节课。

说话人 1
第一，复习造访这个闲途得到 a 方加 b 方大于等于 2A b 引入新客，我觉得做了应该说直截了当，干净利果啊。第二，数学体现的是变化，本来世界就是运动变化，是吧？变就是美，是吧？如果我们穿衣服都单调的话，是吧？那就不好看了。根号a，根号 b 代取代AB，得到一个公式，这就是基本不等式。第二，用分析法证明基本不能试，用图形解释不能试。第四，应用不等式的证明。一些简单的不等式说明代数式取最值的条件以及在实际中的应用。举了一个简单的应用。第五，作业布置中提到 x 小于0，刚才我说到了 x 加 x 分离的最大值。引申，推广的不等式，由正到负，知识更系统更完备啊。嗯，其实我们在探讨跟 a 加 b 大于等于 2 倍根号 a b 的时候，就应该思考这里面的a、 b 一定是大于 0 的吧。我们知道 a b 是属于 r 的时候， a 方加 b 方大于等于2， a b 到 a 加 b 大于等于 2 倍根号 a b 的时候，这里的 AB 一定是正数吗？可以不可以是0，是吧？所以应该是非负数，非负数对不对？应该把它扩通到非负数。另外很自然的，我们继续想到，如果一正一负可以吗？ 1 正一负根号 A b 就没意义了，这是不行的。那么是两正两负可以吗？如果是两负的话，那根号 a b 就变成正的了，是有意义的，但是不等式就不成立了。那应该是什么呢？那当 a b 都是负数的时候， a 加 b 小于等于- 2 倍的根号 a b，这样我们的知识还比较完整。

说话人 1
当我们探讨这个式子的时候，一定要研究这个式子成立的条件，不能局限于我们课本上谈的 a 大于0， b 大于0，那么你就不考虑等于 0 呢？你就不考虑是负的吗？指负的又该是个什么样子呢？我们一定要把问题研究完整，这个还有我们讲了这个，文老师讲这个分析法这个出发点找充分条件，而第一个我们在用分析法证明的时候，它等价的那个式子恰好是个重要的，对不对啊？所以我们要说明一下，找充分条件。当然充要也是可以的。充要一定充分，是不是？你充分可以，不必要吗？充分可以，必要吗？对吧？所以直到显然成立为止，这个时候什么叫显然？大家怎么理解？显然成立到底做到哪一步？叫显然啊？做到我们今天这节课之前课本上有的结论那都叫显然，我们显然你不能说大学的做到，一个大学的结论，你说显然成立，是吧？那肯定是以前学过的一些常用的一些结论，我们叫显然成绩，然后才能过渡到之前这里边。

说话人 1
同样 a 等 b 是不需要的，证明的时候不需要写 a 等号成立。这是在探讨几个问题。第一，嗯， a 方加 b 方大于等于 2 a b，我们用根号 v 和根号 b 去替代 a b。怎么想到的？为什么用它去取代呢？无非就是次数的高低而已，我们降次，次数由二次变成一次，降次就想到的。那我问问你想没想到生命生次是不是第二取等条件 a 加 b 大于等于 2 倍，根号 2B 与 a 方加 b 方大于等于 2 趋等条件没有改变。

说话人 1
为什么没有改变呢？为什么你没有改变呢？可以问问学生，我们不能说看黑板，看没有改变，但是那对于我们的这个弱弱的人，对于我们数学的稍微有点问题的孩子们，他们就不理解了，看不明白了，为什么，是吧？他因为都可以化成一种完全平方式，一个差的平方，所以取等的条件是一样的，无非就是一个根号 a 等根号b，对吧？一个是 a 等b，根号 a 等根号当然可以得到 a 等 b 了。

说话人 1
第三， z b 大于0，这个我刚才说了，等于0，小于 0 都应该延长。第四，自行阅读证明并独立思考问题。在这个证明在证明基本不等式的时候，采取分析法证明的时候，这个老师把这个整个的证明过程都打到了屏幕上。嗯，这个也是在商榷，这是解释证明，讲解释这个证明为什么成功，一步一步的为什么成而没有这个要求有点低了，我认为，嗯，应该要求高一点。怎么要求？那就是怎么证明？为什么这样证明你是怎么想到的？应该这样去思考问题，不要把答案直接打到黑暗啊。

说话人 1
第五个啊。嗯，这个收获了 a 等b。第六几何解释也是直接打到了屏幕上来进行解释，谁，谁是个亚明啊？谁是西安？谁是半径在解释这个解释，这是应该避免的啊。第七，当学生回答不上来时，这是一些小的看法。当提问那个那一轮的那个回答不上来的时候，这个时候，唉，我们的要求是不要换，不要轻易换。第二，这个同学答不上来，如果让他坐下的话，他是很没面子的，我们尽可能的在老师的引导下，在你的追问下、提醒提示下，慢慢的让他想起来，回答上来，这是我们应该做的这个这一点，嗯，第八个问题， x 等于 x 分之一，我们老师在这个研，在这个黑板上写什么，在原版的时候 x 等 X1 得到 x 等于一，说取等号，是吧？当然大前提有个 x 大于0，对吧？尽量这个地方要给学生讲一下 x 等于 x 分之一会得到什么。

说话人 1
那从自然语言来讲就是一个数跟它的倒数相等，我们初中老师经常考学生一个数跟它的倒数相等，这个数是几？哇？经常这样填空，对不对？初一的学生一个数等于它的倒数，这个数是几？那不正负一，是吧？就我们现在来讲， x 等 x 分之一，那不就得到 x 平方等于一了吗？ x 平方等于一，那不， x 等于正一或者-1，是吧？这个- 1 一定要给学生说明，否则的话学生就会形成一个定式。

说话人 1
形成个什么定式？就是这俩一等，他就认为是等的，因为我们这一节讲的是一整二定三相等以后，慢慢的就会形成一个错误的结论，所以这个需要在这要一定要说一下， x 等两个值，那个负的死掉了，是不是一定要说明一下啊？好，这个这三节课基本上大致上你们的时间管理讲了这么多，所以通过这三节课我想跟大家分享两句话。

说话人 1
第一个，第一句话只是对学生来讲，你只是告诉我我会忘记，只是演示给我，我会记住，如果让我参与其中，我就会明白，就是有度，有understand，只有你做了你才能理解你，是吧？第二个教学的最佳状态是什么？就是我们老师应该改进教法、指导学法、加强管法，咱们要三分讲，我们请管。嗯，第三到底一节课是如何的？怎么来看？用空启平教授讲的一句话，要看课，最终要看学生的发展变化啊。

说话人 1
我认为教师能够正确恰当处理知识的预设和生成等矛盾关系。没有生成，想办法造出来，生成在预设的时候，其实我们就预设了将来会在哪个地方生成。比如说我上一次跟咱们大家交流的时候，我说这个如果没有教案不备课，那一定是不负责任的。如果一堂课没有生成，一定不是精彩。预设，我认为也是可以生成的，也是可以预这个生成，也是可以预设啊。有知识本位发展向这个能力反应发展为本位转移，表现出灵动和机制，让学生被鼓动、被感动、更主动啊。

说话人 1
我们这三节课我总体上感觉都有个问题，我们好像是没有多少学生主动的提出问题赐予老师，是吧？敢于发问，课堂上要出现这么一个聚力经验，我们总体上来讲，我们老师都讲的不多，要少讲，让学生动起来。最后用这个杜甫的一首诗结束今天的禀告啊。杜甫刚下一场禀告，杜甫写了一首诗叫村夜喜雨，是不是好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物起无声。野镜云尽黑江船火不明。晓看红丝凤花纵井完朝啊。在教学上，我们好好理解理解这首诗啊，怎么叫润物细无声。好，今天我就简单的。嗯，请三位老师有讲的不对的地方，你们多多听语，咱们下去再交流。好吧。

说话人 2
曹院长先进的理念让我们如沐春风，精湛的专业让我们由衷的敬佩，独到的见解让我们耳目一新，细心的指导让我们受益匪浅，感谢曹校长，美好总是短暂，思想和智慧的交织告一段落。虽有圣地不长，慎燕难再之叹，但群贤意志，共话双新，情志相依，却弥足珍贵。有机会咱们再续，让我们再一次以热烈的掌声感谢三位老师的精彩分享。感谢曹校长的细心指导，感谢开封第二十五中学，感谢各兄弟学校、各位同仁对活动的大力支持。咱今天的活动到此结束

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