三年级数学下册整理与复习《直边平面图形的特征》优质课教学视频

　　说话人 1

　　看到这个角，你觉得可能是我们学过的哪些平面图形呢?请你说三角形，你补充 t 型，继续说平行、四边形，行，这样还有吗?你来补充不规则图形，也就是你说的多边形、多边，其他多边形，是吧?比如说几边形、五边形很好，还有吗?四边形，普通四边形，是吧?你补充。

　　说话人 2

　　还有特殊的长方形、正方形。

　　说话人 1

　　长方形和正方形可不可以。

　　说话人 2

　　包括所有的三角形?除了等边三角形。

　　说话人 1

　　说什么近一点?你比如说有。

　　说话人 2

　　等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、墩角三角形都行，只要不是等边。

　　说话人 1

　　三角形，像这样的是吗?很好，还有吗?你来补充。

　　说话人 3

　　还可能是。

　　说话人 1

　　菱形，也就是特殊的平行四边形。还有吗?你说直角梯形或者等腰梯等哦。等腰梯形请坐下来。诶，看来一个角能不能决定一个平面图形的形状?不能，它只是其中的一部分而已。刚刚这个同学提到的可能是长方形、正方形，你们有什么想说的吗?不可能，就这么，你说不可能，因为长方形和正方形四个角都是直角，都是直角。他还说了，你刚刚补充，还说了什么。

　　说话人 2

　　不能是短边三角形，为什么?因为等边三角形三个角度是60。

　　说话人 1

　　度，所以不符合这个 50 度角的特征，对不对?看来同学们对这些特殊的平面同学的角度特征了解得很透彻。那这么多的图形咱们整理出来了，如果要你给这些图形分类，你想要分成几个大类呢?

　　说话人 3

　　你说我想分成三个大类，请上台。我是想要按边分，首先三条边。

　　说话人 3

　　还有还有四条边，咱们的四边形。最后是这一类，它也就是一个不规则图形。

　　说话人 1

　　我们把它称之为其它多边形，可以，也就是说这一类都是。

　　说话人 3

　　三条边的图形。3、三角形。

　　说话人 1

　　三角形它们都是四边形，四边形的边的特点是。

　　说话人 3

　　有四条边连接。

　　说话人 1

　　的，而它们是。

　　说话人 3

　　其它多边形，它的边无数，但是它是一个封闭图形。

　　说话人 1

　　封闭图它的边都比最少是有几条大于 4 条，对不对?你刚刚是按照边来分的是不是?那如果要分成这三大类，再想想除了以跌作为它分类的标准，还可以用什么来当作它分类的标准?还可以用脚是吗?同意同意，以前回座位刘老师想请其他同学来说一说。如果是用角来当作标准来给它们分类的话，三角形的角的特点都有什么特点?

　　说话人 3

　　你来说它们都是有三个。

　　说话人 1

　　角，四边形都是四边形，都有四个角，而其它多边形都有多大于四个的角，大于四个角，对不对?非常好，你看同学们，我们刚刚通过角和边的数量两个这样的标准把它们分成了三个大类，对不对?看来角和 BN 的数要作为标准是一个很不错的办法，像今天我们这样分类，其实是我们的数学学习当中很常用的方法。我们通过一定的标准找他们之间的相同和不同，从而进一步的去沟通和联系。刚刚同学们通过角和边的数量把它分成了几个大类，三个大类。

　　说话人 1

　　那你能够回顾我们以前学过的知识，按照一定的标准将三角形和四边形再往下分一分吗?别着急，刘老师把这些素材投送给大家，然后请大家在平板上去操作，先思考，然后一边分一边标注，把它整理成思维导图的形状，可不可以?最后小组之间前后几个交流一下，好不好?

　　说话人 1

　　你细分的时候你标注你这请所有同学教你们分类的结果上传。

　　说话人 1

　　好，那我们就看这些同学的刘老师挑选了三个同学的分类结果。我们先来看看这个同学的这个是 5 号，来请 5 号同学上台来说一说，分享一下你分类的标准和想法。

　　说话人 2

　　我是按脚分的，嗯，分别是墩角三角形和直角三角形，还有锐角三角形。墩角三角形是有一个角大于 90 度，两个角两个，另外两个都是锐角。直角三角形是一个角等于 90 度，另外两个角小于 90 度，锐角三角形是三个角都是小于 90 度。

　　说话人 1

　　同意它的想法。同意。那它的标准是按什么来分角?按角来分，可以把三角形分别分为三类，一类是遁甲，三个角都小于 90 度的是锐角三角形，还有是有一个 90 度角的是直角。

　　说话人 2

　　直角下。

　　说话人 1

　　直角三角形、墩角三角形的特征是什么?

　　说话人 3

　　大大。

　　说话人 2

　　有一个大于是兔。

　　说话人 1

　　我想再请一个同学来复述一下他们的特例。来，你。

　　说话人 3

　　来说锐角三角形是三个角都小于 90 度的三角形，直角三角形是有一个角是 90 度，其余的角都小于 90 度的三角形。钝角三角形是有一个角是大于 90 度，其余两个角都是9。

　　说话人 1

　　都是小于 90 度的三角形是吗?是，是的。诶，看来你们用脚来当作标准，对三角形角的特点了解得很清楚，除了用脚来当作分类标准，还可以用什么?来，我们来看看这个同学的。这是哪个同学?请你上来说一说，看看它是怎么分?

　　说话人 3

　　我给三角形分类是按边分的，首先我把它分成了不等边三角形，它的不等边三角形的两条腰是不相等的。然后就是等腰三角形，等腰三角形的两条腰是相等的，然后这里有一个三角形，我是画了双横线的，它是等边三角形，三条边都是相等的，三个角都是 60 度，但是它也符合等腰三角形的特征，所以它是特殊的等腰三角形。

　　说话人 1

　　哎哎呦，你看它多命狂说得很全面，你们同意它的想法吗? me 那我请一个同学来复述一下它分类的标准是按什么来分边的?什么特点?

　　说话人 2

　　长度。

　　说话人 1

　　是否相等?有没有相等的边，对不对?嗯，如果没有相等的边，它就是不等边，三角形，或者我们说空的三角形。

　　说话人 1

　　如果有相等的边，那就是那等腰三角，腰等叫做等腰等腰三角，等腰三角形，他把等边三角形放在这一类的元音又是什么?我想再请一个同学来说一说，你来因为的边三角区，那也就是说我们可以把它看成是一个特殊的等腰三个三角形。等腰三角形是吧?

　　说话人 1

　　好，同学们很厉害，通也是通过哪两个标准来给三角形分类的?边额角给三角形进行了分类，我们会发现三角形之间的关系，通过这样分之后，是不是感觉更加清晰了?对，但不管怎么样它们都是三角形，所以它们肯定有联系，有很多共同的特征。先想来说说看以上他们都有三个角和三条边，还有吗? Jane 继续补充。来，你来说他们分了三个多点，三个顶，一点顶，你还想说封闭图平面图形，是吧?封闭的图形你来说它们的内角和都等于 180 度，诶?找到了它角的特点，你说它们的两边之和都大于近三年，还有吗?还有什么特性?你说我们从大家的回，这对几些以前知识的回顾当中，能够找到同学很多共同的特点，对不对?那我们今天还要研究的这个四边形它又有什么特点呢?共同的特点，你说 pass 四个角质和内角和相同，还有吗?你说。

　　说话人 3

　　他们都是具有四条边四个角，而且他们都具有不稳定。

　　说话人 1

　　好，这是四边形的特点对不对?那四边形又有哪些不同呢?我们可以怎么给它们分类呢?我们看看这个同学是怎么做的?这个我好像没有展示这个同学的，对不对?来，我们来看看这个同学对于四边形分类的想法，请上台。

　　说话人 2

　　嗯，首先的话我把四边形分成了三类，一，第一类就是平行四边形，还有第二类就是梯形，第三类就是其他的。首先平行四边形它就是两个对边都要相等的，所以这个就是平行四边形。但是我把长方形和正方形也放到了平行四边形里面。因为长方形和正方形都具有平行四边形的特征，所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。嗯，还有的话就是梯形，这个我就是没有怎么细分的话，就是反正梯形就是有一条对边相等的，就是就可以了，还有一类就是其他的，就是它既没有平行四边形的特征，也没有梯形的特征，它就是一个其他类的四边形。

　　说话人 1

　　刚刚这个同学在说的过程当中说平行四边形是对边相等，有两个对边，两组对边相等，梯形是两组对边相等，有一组对边相等，你们同意这样的说法吗?同不同意你想不想修改一下?好，那我们回顾一下到底什么是平行四边形，有没有印象?你说。

　　说话人 4

　　平行四边形是两组对边，平行的一个四边形。

　　说话人 1

　　两组对边分别平行的四边形，对不对?好，那梯形你来补充。梯形怎么定?那梯形。

　　说话人 2

　　就是一组对边分别。

　　说话人 1

　　平行的就不用分别了，它只有一组了，一组对边平行的四边形叫梯形，对不对?那你给它们做区分的标准，就是他们的一个是两组对边平行，一个是一组对边平行，那就是从平行边的数量是不是?两组平行，一组平行，是不是?嗯，然后这一组就是。

　　说话人 2

　　这一组就。

　　说话人 1

　　没有什么平行边，没有平行边的。诶，你们同意这个分类的标准吗?同意，你们同意，非常好，那就是把它可以分为两组，对边平行的是平行四边形一组平行的是平行是什么?大正数 t 型都没有这个特征的，我们把它看成是其他四边形或者说变形四边形，武汉这个同学在后面还有更多的想法，我们再来聊一聊。

　　说话人 1

　　好，谁能够看懂他把这两个图形意放在平行四个形一类的想法?你能看懂，你来说他是觉得长方形和正方形都具有平行四边形的特征，所以把它放在这里，对不对?是这样子，对不对?那我们把它写下来，长方形、正方形都具有平行四边形特征的话，那它的区别又是什么呢?你自己说。

　　说话人 2

　　嗯，长方形的话它就是四个角，都是直角，正方形，正方形就是它四个角都是直角，然后它四条边都是相等。

　　说话人 1

　　那长方形和正方形又有什么关系?就是。

　　说话人 2

　　也是一个包含的关系，就是正方形就是特殊的长方形。

　　说话人 1

　　它用到了一个词。什么包含用的特别好，是不是啊?那也就是说平行四边形包含了。

　　说话人 2

　　正方、正。

　　说话人 1

　　长方形和正方形，那长方形也包含了正方形。掌声送给他，别着急，你的这个任务可大了啊。继续说，你就是把梯形把它全部归成一类了，对不对?好，我暂时请你回到座位上去，这个头学的这一种分法你们还有什么有什么想说的吗?就直接这样分就行了，还是可以继续往下分一分。

　　说话人 4

　　你说这三种题型分别对应三种不同的题型，一种是直角梯形，一种是等等腰梯形，还有一种就是普通的，有提醒。

　　说话人 1

　　一种是什么直角梯形。好，我写这里还有等腰提醒和普通的题型，请坐下来。那我想问问大家，直角梯形是用什么标准来界定呢?你说直角梯形它是必须要有一个直角，实际上它有几个直角?两个等腰梯形呢?要腰相等，腰是相等的诶，我们这样分析来分析去，不知道同学们发现了没有，不管怎么样分都是围绕着它的哪些特征来分的，哪两个方面的特征来分的?边、角、边还有角。看来边和角是我们以后继续研究平面图形的两个重要法宝，对不对?对对。那有同学就会想问了，老师，为什么我们这一节课就只来研究三角形和四边形，而不去研究其他多边形呢?有没有同学知道背后的秘密?你说。

　　说话人 2

　　因为其他多边形它是没有特殊的定义。

　　说话人 1

　　没有明显的特征，这样去理解对不对?好，你说。

　　说话人 4

　　因为其他多边形分类就分得没那么细了，就只有两都，就其他多边形，反正我听过的就只有两种分类。比如说五边形，它就只有正五边形和普通的五边形，正五边形就是五条边都相等的，就那其他不相等的就叫普通的五边形，就只分类没那么细。

　　说话人 1

　　了，你了解的非常的多，那我们来看看这个图，看你们找能不能找到其中的原因。我们在研究多边形的时候可以拆分。

　　说话人 3

　　可以吗?你说可以把它分成我们学过的三角形或者四边形，根据它里面有多少个三角形或者四边形来求出它的内角和有利于我们。

　　说话人 1

　　这是对于角。对，这样也就是说在研究多边形式我们都可以转化成什么。

　　说话人 3

　　三角形或者四边形。

　　说话人 1

　　然后来继续研究，对不对?其实不管是三角形也好，四边形也好，还是其他的多边形也好，他们就我们今天研究的这些图形都有一个共同的特征，那就是他们的边都是什么值的，所以这就是我们这节课要研究的直边平面图形，想不想玩一玩这些图形?想，刘老师给大家带来了一个有趣的提醒，请你移动梯形 4 左右移动梯形的四个顶点的位置，看你能不能把它转化成新的图形。

　　说话人 1

　　听清要求，老师把它投在你们的平板上，你们左右移动，然后自己选择一个你转化出来的最喜欢的图形，然后上传明白没有?明白了好，来点击这里就可以打开，点击，打开在线画板就行。好，接收好，会有一点点缓慢。不着急了，合成四方形，移出一个新的平面图形态啊。不要移了，移去还是个梯形，没有办法转化成新的图形呢。

　　说话人 1

　　学过的话好了，印完了之后就请上传，请快速上传啊。来，我们一起来看一看同学们移成了哪些不同类别的图形?这个是三角形，这个是移成了正方形，这个是四边形、四边连音形，还有长方形，好像可以转化成我们学过的很多图形，对不对?然后我们再继续结合一个视频来看一看它转化的过程。移动上顶变成了平行。

　　说话人 2

　　四分形，继续看。

　　说话人 1

　　现在是长方形，又变成了。

　　说话人 2

　　正方形。

　　说话人 1

　　还可以变成三角形，看明白它的转化过程了吗?看到了，其实你们发现没有，不管是变成什么样，新的图形都是梯形的，什么发生了变化? DNA 和9，你说都是梯形的边和角边的，什么边的?你看左右移动它的边的什么发生了变化位置。

　　说话人 3

　　你说我觉得是长度。

　　说话人 1

　　边的长度在不断的变化，对不对?角的什么大小的大小?边的长度和角的大小在发生变化，那我们再看到这个最后变成的这个三角形，除了边的长度和角的大小在变化，边和角的什么也变化了数量，诶，你看一下子就发现了非常厉害，也就是说如这些都是因为边的长度、角的大小以及边和角的数量发生了变化，梯形才有可能转化成了新的平面图形，对不对?对对，你看平面图形是不是很神奇啊?嗯，想不想再玩一个?想，来继续看。

　　说话人 1

　　请看题，在方格图中有一条线段AB，在图中任意找一个点， c 连接三角形ABC，使得它是个等腰三角形 CDN 可能在哪里?来，你上来试试这个地方，是吧?我们连接试试看，同意吗?同意。诶，雷老师想问问你，你把这个地方看作 c 点，是把a， b 当成了什么?当成了三角形的 d 是不是?那如果按照它的思路把a、 b 当成三角形的底的话， c 点还有可能在什么位置?来?这个女生你来，对，你来。

　　说话人 1

　　在这里是吗?在这个地方你是把a、 b 当成了底吗?不是。把a、 b 当成底的话， c 点可能在什么位置?请回座位。好，同志，你来说，你来画画，看这个地位置是吗?我们画细一点，是不是还可以画吗?还可以吗?继续往下可不可以?谁有新的发现请回座位。你来说。你想说什么?我发现问它的顶点在哪里，都是一个等腰三角形，除了它变成了一个瓶子。谁想补充你的发现?你来。

　　说话人 2

　　我认为就是在它横线中间那条线上，任意一个点都可以组成一个等腰三角形。

　　说话人 1

　　哪条线上?你来比划一下那条线上的任意一个点，我把它连起来，好不好?同意他的发现吗?

　　说话人 2

　　同意。

　　说话人 1

　　不同意。有人想补充，你补充不能在 AB 点的中线吗?不能。在这条线和 AB 的什么地方连接交点为什么就成平角变?他们就锁三个点都在一条直线上了，对不对?好，非常好，那也就是说这一条直线上的任意一个点，这个点可是不是三等下三角形?是的。这里可不可以是 c 列?可以。这里可不可以?我们通过几何方法一起来看一看，我们在这条线上移动 c 点的位置是不是三等一下?三角形?是，是不是?是这边是不是?是除了一点他们的终点吗?这个叫垂焦点，他们的焦点这个位置不行，是不是?其实同学们这一条线和这个三角形 ABC 有着非常特殊的关系，这个等到初中的时候我们会去学习。刚刚同学们是把 AB 看作是三角形的什么底裂底来进行来找出 c 点的位置的。那除了把 AB 看作是三角形的底，还可以把 AB 看作是三角形的腰。如果是腰的话， c 点壳在哪里啊?你来说，你来换一换这里是吗?在最底下，你数清楚，一个哥哥，两个哥哥， 3 个哥哥 4 个，这里是吧?这里可能是 c 列 c 点，那我们把它连起来，这个时候你这个等腰三角形的两条腰是哪两个?你来说一声，不着急。

　　说话人 3

　　这个时候的等腰三角形。 1 是。

　　说话人 1

　　AB 和BC，如果是把 AB 和 BC 当作 1 的两条幺的话， seed in 还有没有可能在别的位置你知道吗?继续补充好不好?新姐还可能在同一平面这个点，如果是这个点的话，同学们想一想是不是还是把 AB 和 BC 当作等腰?是 AB 和a， AB 和 BC 是 BC 吗? BA 和 a C， d 就变成 a C 了，对不对? a C。那我们回到刚刚的思路，刚刚这个同学是把 AB 和谁? AB 和 BC 当作等腰的，对不对?那 c 点除了在这个位置还有没有别的位置?

　　说话人 3

　　来，你说其实在这个圈上的任意一个点都可以使a、 b 连接上 c 减成为一个等腰三角形。

　　说话人 1

　　请坐下来，我们先把刚刚的这个问题讲清楚，好不好?你的意思说任意一点都能够是 a b 等于 b c 吗?是这样吗?不是不是。那我们先把这个问题解决，一步一步往下走，好不好?来，如果是a， b 等于 b seed 话， c 点还可能在什么位置?你说 c 点还可以在 a 点的下面 4 个格子， a 点的下面在这里吗?对哦，如果是这样的话， a C 是 AB 等于 BC 吗?请问 AB 等于 BC 吗?是 a C 等于a， C 等于AB，好像跟我们刚刚做的这一条思路不一样了，对不对?再听清楚刘老师的要求，当 a b 等于 b c 时， CD 还可能在什么位置?你来画来，他可能在这个位是这条，那我们来领一领。嗯，我们看是不是如果 CBN 在这个位置，是不是 AB 等于ABC，对不对?你看他就有一双善于发现的眼睛，掌声送给他。

　　说话人 1

　　刚刚同学们在讨论的过程当中，其实还找出了新的点，是吧?除了 a b 等于b、 c 之外，他们还找出了这样两个点，那我们把之前的擦掉。当同学们找出这样两个点时，我们看看此时这个写等腰，是这个两个等腰三角形的两条相等的腰是谁?

　　说话人 2

　　你说分别是 AB 和a， C 就不是日志的 AB 和BC。

　　说话人 1

　　不是。 AB 和 BC 是 AB 和 a C AC 是吗?那如果是将 AB 和 a C 都当成它两条相等腰的话， c 顶还有没有可能在别的位置呢?也就是说 a C 等于 a b 的话，还有没有可能在别的位置呢?你说来，你来画一画。

　　说话人 2

　　这个可能不太好画，其实我们如果把 AB 的长度确定下来之后，我们就。

　　说话人 1

　　可以这样。好，我给你一条线段跟 AB 一样长，我们点一点它，你想怎么操作?

　　说话人 2

　　可以拖动是吗?可以。然后我们就这样一直。

　　说话人 1

　　这个地方可不可以停?这里可以是 c 点吗?可以， AB 等于a，C， AC 继续，这里可以是 c 脸吗?可以继续涂。

　　说话人 2

　　哦，就是刚才。

　　说话人 1

　　这个点也可以继续好好停。如果这样转下去，你觉得 c 点个数有多少?无数个。

　　说话人 2

　　那一，那还有一个点不行。哪个点?这一个点是。

　　说话人 1

　　不行的。说说理由。你们来说，你说。

　　说话人 2

　　如果它在这个点的话，它就成一个平角。

　　说话人 1

　　又跟刚才一样会变成三个点都在同一条是直线上，是吧?好，除了这个点，我们发挥想象，把刚刚 c 点可能存在的位置，如果把它连接起来，它会变成一个什么?会变成一个圆，一起说一个圆，是吗?我们一起通过几何画板来看一看，我们以转动 c 顶的位置可以看到它所在的位置形成了一个圆形，那是不是所有位置都可以。

　　说话人 3

　　不行?

　　说话人 1

　　比如说这个位置，因为你说因为这个位置就形成了一个平角，它们三点所在的位置就是在一样的，在同一条线上没有办法形成三角形，对不对?那我们再回过头来观察。同学们在这里是把 AB 和 a C 看作是等腰三角形的。

　　说话人 2

　　腰。

　　说话人 1

　　那 c 点所围绕的是 AA 点来转动的，对不对?对对。那如果像刚才同学们说的，把a、 b 和b、 c 当作等腰三角形的腰的话，这个圆是围绕着谁来转动的? b 点、 c 点所在的位置同样可以形成一个。哎，是的，那这个等腰三角形的两个，两条腰跟圆有什么关系呢?这个咱们留到六年级的时候会去学习。好同学们，虽然这一节课是一节整理和复习的课，但是大家很善于动脑筋，思维越来越扩散了，发现没有让我们感受到平面图形里面的奥秘是不是无穷无尽的?是按我们回到开头的这个角来看，你觉得它除了可能是我们今天研究的直边平面图形以外，还有可能是什么图形?你说还有可能是一切不太规则的，比如说像这样的扇边扇形，这样的曲边图形，对不对?行，好，直边、平面图形，我们是围绕着边和角来进行研究的，是不是那曲边的平面图形我们可以围绕着什么来进行研究呢?这个问题留给大家课后去思考，这节课咱们就上到这里。